Odds Ratio und relatives Risiko

Besonders in der Medizin ist der Vergleich zweier Häufigkeiten wichtig. Eine beispielhafte Fragestellung dazu ist: Ist ein neues Medikament oder eine neue Operationstechnik erfolgversprechend? Dabei wird eine Kontrollgruppe mit einer Experimentalgruppe verglichen und untersucht ob für die Untersuchungsgruppe ein Nutzen oder ein Schaden entsteht. Dieser Nutzen bzw. Schaden wird als “relatives Risiko” bezeichnet, das Chancen-Verhältnis eines Nutzens/Schaden wird als Odds Ratio bezeichnet.

Zur Veranschaulichung habe ich hier ein konstruiertes Beispiel. In einer Landesweiten Studie wird die Wirkung des Luftschadstoffs NOx auf das Auftreten eine Reizung der Atemwegen untersucht. Dazu werden in unterschiedlichen Gebieten mit bekannten durchschnittlichen Konzentrationen eines Luftschadstoffs Erhebungen über das Auftreten einer bestimmten Krankheit durchgeführt.

Tab 1: Schadstoffkonzentration
  NOx
Reizung   <0.1mg/qm 4mg/qm 14mg/qm 23mg/qm 64mg/qm 121mg/qm
ja    15 14 16 29 30 25
nein    1575 1367 945 1284 1379 967

Das Gebiet mit einer Konzentration von >0,1 mg/m³ sei dabei die Kontrollgruppe. Die Risiko-Maße errechnen sich wir folgt.

  1. Erkrankungsrate bei Exponierten (4 mg/m³): 14/(1367+14) = 0,010
  2. Erkrankungsrate Kontrollgruppe: 15/(1575+15) = 0,009
  3. Relative Risiko: (14/(1367+14))/(15/(1575+15)) = 1,075
  4. Odds-Ratio: (14/15)*(1575/1367) = 1,075

Das Erkrankungsrisiko ist bei einer Konzentration 4 mg/m³ nicht größer als bei Nicht-Exponierten. Eine Zusammenfassung der anderen Werte ist in der Tabelle 2 aufgelistet. (Das sich die Werte Relatives Risiko und Odds Ratio ähnlich sind ist reiner Zufall und durch runden auf eine Kommastelle bedingt.)

Tabelle 2: Zusammenfassung der Risiko-Maße (Erkrankungsrate Kontrollgruppe 0,9%)

Konzentration Erkrankungsrate Relatives Risiko Odds-Ratio Exposition
4 mg/m³ 1,0% 1,1 1,1 kein Effekt
14 mg/m³ 1,7% 1,9 1,9 Schaden
23 mg/m³ 2,2% 2,5 2,5 Schaden
64 mg/m³ 2,1% 2,4 2,4 starker Schaden
121 mg/m³ 2,5% 2,9 2,9 starker Schaden

Aus der Analyse des Odds-Ratio lässt sich ableiten, dass ab einer Konzentration von 14 mg/m³ eine Beeinträchtigung zu erwarten ist. Ob das Ergebnis signifikant ist, lässt sich durch die Risiko-Maße noch nicht beurteilen, dazu müssten noch die Konfidenzintervalle der Odds-Ratio berechnet werden.

Eine Berechnung der 95%-Konfidenzintervalle kann z.B. mit SPSS über Kreuztabellen angefordert werden oder mit R, mittels der Funktion oddsratio(), die im dem Paket library(vcd) enthalten ist, ausgeführt werden. Die sich abzeichnende Zunahme der Erkrankungsrate kann mit dem Cochran-Armitage Test geprüft werden.

Tabelle 1: Relatives Risiko und Exposition entnommen Sachs (2006) 2009 Seite 569

relatives Risiko Exposition
≤ 0,3 starker Nutzen
0,4 – 0,8 Nutzen
0,9 – 1,1 kein Effekt
1,2 – 2,5 Schaden
≥ 2,6 starker Schaden

Mit R und dem dem Paket vcd geht die Berechnung natürlich viel einfacher und es lassen sich auch ansprechende Grafiken der Resultate erzeugen.

Table 1: Odds ratios für Reizung und NOx
Reizung NOx OR ASE
nein:ja <0.1 mg/qm:4 mg/qm 1.08 0.40
nein:ja <0.1 mg/qm:14 mg/qm 1.78 0.64
nein:ja <0.1 mg/qm:23 mg/qm 2.37 0.76
nein:ja <0.1 mg/qm:64 mg/qm 2.28 0.73
nein:ja <0.1 mg/qm:121 mg/qm 2.71 0.89
Odds Ratio plot

Figure 1: Odds Ratio plot

Alternative Methode um zu den selben Ergebnissen zu kommen ist die Berechnung einer logiatischen Regression.

# Alternative zur Berechnung der Odds
fit <- glm(I(Reizung == "ja") ~ NOx, dat, family = binomial())
round(exp(coef(fit)), 2)
##  (Intercept)   NOx4 mg/qm  NOx14 mg/qm  NOx23 mg/qm  NOx64 mg/qm 
##         0.01         1.08         1.78         2.37         2.28 
## NOx121 mg/qm 
##         2.71
Tab 2: binomiale logistische Regression
Quelle b SE odds
Parameter
(Intercept) -4.65*** 0.259
NOx4 mg/qm 0.0726 0.373 1.08
NOx14 mg/qm 0.575 0.362 1.78
NOx23 mg/qm 0.864** 0.32 2.37
NOx64 mg/qm 0.826** 0.318 2.28
NOx121 mg/qm 0.999** 0.329 2.71
Goodness of fit
AIC 1303.19
BIC 1344.84
McFadden 0.01
r2ML 0.00
r2CU 0.01
RMSE 8.37
Obs 7646
Marginale Effekte mit 95%-Ci

Figure 2: Marginale Effekte mit 95%-Ci

Literatur

R Core Team (2019). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL: https://www.R-project.org/.

Fox J, Weisberg S (2019). An R Companion to Applied Regression, 3rd edition. Sage, Thousand Oaks CA. URL: http://tinyurl.com/carbook.

Fox J, Weisberg S (2018). “Visualizing Fit and Lack of Fit in Complex Regression Models with Predictor Effect Plots and Partial Residuals.” Journal of Statistical Software, 87(9), 1-27. doi: 10.18637/jss.v087.i09 (URL: http://doi.org/10.18637/jss.v087.i09).

Fox J (2003). “Effect Displays in R for Generalised Linear Models.” Journal of Statistical Software, 8(15), 1-27. URL: http://www.jstatsoft.org/v08/i15/.

Fox J, Hong J (2009). “Effect Displays in R for Multinomial and Proportional-Odds Logit Models: Extensions to the effects Package.” Journal of Statistical Software, 32(1), 1-24. URL: http://www.jstatsoft.org/v32/i01/.

Sarkar D (2008). Lattice: Multivariate Data Visualization with R. Springer, New York. ISBN 978-0-387-75968-5, URL: http://lmdvr.r-forge.r-project.org.

Meyer D, Zeileis A, Hornik K (2017). vcd: Visualizing Categorical Data. R package version 1.4-4.

Meyer D, Zeileis A, Hornik K (2006). “The Strucplot Framework: Visualizing Multi-Way Contingency Tables with vcd.” Journal of Statistical Software, 17(3), 1-48. URL: http://www.jstatsoft.org/v17/i03/.

Zeileis A, Meyer D, Hornik K (2007). “Residual-based Shadings for Visualizing (Conditional) Independence.” Journal of Computational and Graphical Statistics, 16(3), 507-525.

Sachs, Lothar. 2006. Angewandte Statistik - Anwendung Statistischer Methode. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag.

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